filosofía

Irracionales…

Spangenberg_-_Schule_AristotelesLa primera universidad europea fue la Academia de Atenas. Sobre su puerta estaba escrito:
“Aquí no entra quien no sepa geometría”.
Éste es un relato de cómo la geometría salvó a la filosofía. Pero también tuvo otras consecuencias.

Debemos mucho a los antiguos griegos. Hace más de 2.000 años, al asumir que somos mortales, empezaron a despejar las fronteras entre hombres y dioses(1).

Pero esta historia comenzó antes, en Persia y Egipto, donde la crecida de los ríos venía unida a la muerte y a la vida; esto es, a la vida-tras-la-muerte. Cosa de dioses, por tanto, y de los sacerdotes que sabían cómo hablar con ellos. Tuvieron que aprender los movimientos del cielo para anticiparse a las cosechas y las hambrunas. Y tras cada inundación anual, medir las tierras de cultivo para repartirlas(2). Además tuvieron que construir templos y monumentos funerarios como las pirámides, para ayudar al rey en su viaje por el inframundo, sin cuyo éxito, nada de lo demás habría funcionado.

Contar y medir

Para eso nacieron la aritmética y la geometría: como conocimientos secretos, reservados a la casta sacerdotal. Los cálculos que se necesitaban nacieron de dos experiencias: contar objetos y medir distancias.

Parece que contar y medir sean lo mismo; pero no lo son. Porque al contar se obtienen números enteros: 1, 2, 3, 4, 5, … ContarContar es como sumar. Como agregar piedras a un montón.

Pero, a diferencia del contar, al medir comparamos cosas. O dividimos algo en partes o enrollamos una cuerda al brazo y vamos cantando las vueltas: 1 codo, 2 codos, 3 codos. MedirLa proporción entre la longitud medida y la que se ha tomado como unidad de medida no tiene porque ser un número entero. Puede ser menos de uno: una fracción (por ejemplo, cuatro y medio).

trianguloAsí se miden longitudes; como un camino. Pero ¿cómo se mide un campo con una cuerda? Quizás plantando estacas en el suelo y rodeándolas con una cuerda. A eso podríamos llamarle “triángulo”.

Los egipcios descubrieron que el triángulo es importante, porque si se atan tres palos, la figura no se deforma. cupula3Con triángulos se construyen hoy en día estructuras muy sólidas. Los egipcios no sabían construir cúpulas, pero para levantar edificios y templos se necesita una clase especial de triángulos. Y de eso se encargaron los dioses.

Cuerda triangulo sagrado 315Si se toma una cuerda de 12 codos y se hacen dos marcas a 3, 4 y 5 codos; se clavan dos estacas  en el suelo en esas marcas y se unen por sus extremos, se obtiene un triángulo que no es sólo un triángulo. Es un triángulo “sagrado”.

CuadriculaTriangSagradoUn triángulo sagrado3 tiene diversas aplicaciones. Cuadricular los campos para distribuir las tierras, levantar paredes y tejados que no se caigan. Y, naturalmente, templos para dar las gracias a los dioses por habernos dado un instrumento tan perfecto.

La importancia de la cuerda

La cuerda fue tan importante para las culturas antiguas como la bifaz(4) para los homínidos. No sólo fue el instrumento decisivo del reparto agrario en Persia y Egipto y de la construcción en la antigüedad, incluido el urbanismo romano. No sólo permitió descubrir la geometría. También la teoría musical.

390px-Egiptian_triangle.svgCuando los griegos adoptaron el triángulo sagrado de los egipcios, Pitágoras fundó la geometría sobre el conocimiento de los números enteros y fraccionarios. Y sobre esos mismos cimientos levantó también la teoría musical. Todo gracias a las cuerdas. Las cuerdas no sólo servían para medir, construir triángulos sagrados y obtener números fraccionarios. Cuando se tensaban, también producían música.

Inventando la teoría musical

El sonido emitido por una cuerda tensada es una nota musical suyo tono depende de la longitud de la cuerda. Si la cuerda se tensa en su mitad, suena la misma nota que la cuerda entera, pero una Octava más aguda. A 2/3 de su longitud, suena una Quinta justa más alta. Así Pitágoras inventó la escala diatónica y un método de afinación que siguió usándose durante siglos.

Parece justificado que para estudiar filosofía en la academia de Platón se exigiese saber geometría.
Platón creía profundamente en la razón y en las Ideas racionales. Tanto, que a los números conocidos -enteros (1, 2, 3, …) y fraccionarios (1/2, 1/3, 2/3, …) les llamaron “números racionales”. Los griegos creían que el universo estaba construido racionalmente, al menos tanto como eran capaces de concebir unos seres racionales, o sea, ellos mismos. Loados sean los dioses que habían hecho todo tan bien ordenado. Y venturosos los mortales que actuaban racionalmente sin entregarse a vicios excesivos.

Sin embargo . . .

Cierto que los triángulos sagrados eran racionales: 2, 3 y 4. Y los intervalos musicales también eran racionales: 1/2 la octava, 3/2 la quinta justa, etc.

rectangulo1x1Pero ay, no todos los triángulos eran sagrados (ni tampoco lo eran todos los intervalos musicales). En un triángulo rectángulo cuyos lados cortos son 1 y 1 ¿cuánto mide su lado mayor? Sujétate a la mesa:

1’414213562373095048801688724209698078569671875376948073
1766797379907324784621070388503875343276415727350138462
3091229702492483605585073721264412149704132226659275055
92755799950501152782060571470109559971605970…

Y eso es sólo el comienzo. La lista de dígitos no acaba nunca. Esto sí que es sagrado y metafísico. Los filósofos proclamaron que no era racional. Y a continuación afirmaron que, por tanto, habría de ser irracional. Y con ese nombre se quedó. Ahora al menos tenían un nombre y todos contentos. O si no, siempre nos quedaría… la cuerda.

Porque, de no haber sido por la geometría, los filósofos habrían tenido que ahorcarse. Sin la representación gráfica que facilita la geometría, Euclides nunca habría podido demostrar con números su famoso teorema del cuadrado de la hipotenusa. Así la geometría salvó a la filosofía. Aunque los filósofos quedaron tocados y pronto serían sustituidos por teólogos, cuyo fuerte es el infinito y más allá.

Actualmente no nos asustamos por ese lado subversivo de los triángulos rectángulos que desafían la razón. Hemos asumido el insulto a nuestra especie de los números irracionales(5). Ahora le llamamos “raíz cuadrada” y no nos alteramos. Si te interesa llevar contigo de mascota un número irracional, aquí puedes descargar a tu móvil los primeros millones de dígitos de raiz_2 .

Y ¿qué fue de la música?

hiperbolaNo le fue mejor. La geometría de los griegos no servía para entender los fundamentos musicales, porque el tono no es proporcional a la longitud x de una cuerda, sino a su inversa: 1/x. Y eso es la hipérbola, que nos lleva de nuevo… ¡a los números irracionales!

Es una paradoja(6): El sonido de una cuerda no puede medirse con una cuerda, porque el sonido no es una cosa sino una conexión temporal(7): algo que sucede. Que no pertenece al espacio que conocían los griegos, sino al tiempo. ondaLa longitud de una onda no se deja sujetar por una cuerda como un perro, porque se trata de la frecuencia: de la cantidad de vibraciones por segundo.

Y es que el tiempo es otra historia(8). Cuando los griegos descubrieron que los humanos somos mortales, se dieron de bruces con misterios que 23 siglos después nos siguen desafiando y aconsejándonos humildad.

_____
dioses no(1) Ver No somos dioses… somos mortales.
(o ingleses, que es casi lo mismo).

(2) Ver El Sentido en Heráclito y Lao-Tse.

390px-Egiptian_triangle.svg(3) Ver Wikipedia: Triángulo sagrado.

(4) Ver La bifaz: herramienta estética.

(5) Ver Wikipedia: Número irracional.

(6) Ver Prigogine: el tiempo rompió su simetría.

(7) Ver Conexiones.
.

(8) Ver Paradojas: Se acabaron las alegres y confiadas mañanas.

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4 thoughts on “Irracionales…

  1. Nunca había pensado en la cuerda como origen de tantas cosas. Así que gracias, José Luis por enseñarme siempre algo nuevo. A partir de ahora miraré las cuerdas con más respeto. Y gracias también por el sentido del humor que derrochas en todo el post.

  2. Pingback: Irracionales… — Estética existencial | María Cecilia Galindo Oñate

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